参考知乎讲解：小白爱上SPSS - 知乎 (zhihu.com)

参考b站视频：单因素方差分析(上）/ANOVA/什么是方差分析、方差分析的思路_哔哩哔哩_bilibili

什么时候用什么检验：

正态分布：
- 计数资料：
  - 单个计数资料：单样本比例检验
  - 多个计数资料：卡方检验
- 计量资料：
  - 两组数据：t检验（可以和计数资料结合）
  - 多组数据：ANOVA（可以和计数资料结合）
非正态分布：
- 秩和检验

几个重要参数：

\(\alpha\)：显著性水平，是 \(p\) 值的临界值，一般比较小，如：0.01，0.05.
\(p\)：表示在 H0成立的情况下，拒绝 H0，接受 H1的错误决策的概率。可以理解为风险，\(p\) 值越小，拒绝 \(H_0\) 的风险越低。这个参数的值需要与显著性水平比较，若小于显著性水平，则拒绝假设 \(H_0\)，并称观察到的差异在统计上是显著的

1. 方差分析

单因素方差分析
双因素方差分析

1.1 单因素方差分析

1.1.1 方差分析的基本概念

目的： 比较不同分组 (通常组别大于等于3) 之间某一特征值的均值是否存在显著差异。（n个分类，它们的某一特征值的平均值，是否有显著区别）

因素 (factor or independent variable) ： 一定是分类型变量，且类别大于3。例子:

视频分区：生活区、知识区、游戏区、美妆区、搞笑区
医学院：协和、北医、复旦医学院、上交医学院、Harvard medical school.John's Hopkins medical school、 UCSF medical school

特征值 (dependent variable)： 一定是连续型变量

原假设： \[ H_{0}\colon\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\cdots=\mu_{n} \]

备择假设： \[ H_1{:}\mu_1{:}\mu_2{、}\mu_3{、}...{\mu_n} 不全相等 \]

1.1.2 方差分析的思路

数据整体波动(Sum of Squares Total)：组内波动与组间波动。整体波动描述的是所有数据，包含了各个分组数据。

组内波动（Sum of Squares Within, SSW）：

某一分组内，个体特征值的离散程度
例子：协和医学院学生考试成绩的离散程度

组间波动（Sum of Squares Between, SSB）：

不同分组之间，分组特征值的平均值的离散程度
例子：协和医学院、北大医学院、哈佛医学，学生考试成绩均值的离散程度

\[ SST = SSB + SSW \]

一些结论和例子：

组内波动占整体波动越大，组间波动占整体波动越小，各组均值相等的可能性越大
组内波动占整体波动越大，组间波动占整体波动越小，各组均值相等的可能性越大

我们通过构造 f 统计量来判断我们的组间波动，它的占比是否足够的大，大到让我们拒绝原假设

1.1.3 怎么计算SST SSW SSB，利用F检验进行判断

计算SST： \[ \text{Sum of Squares Total=}\sum(x_i-\bar{\bar{x}})^2 \]

计算SSW： \[ \text{Sum of Squares Within}=\sum(x_i-\overline{x_i})^2 \]

计算SSB： \[ \text{Sum of Squares Between}=\sum(\overline{x_i}-\bar{\bar{x}})^2 \]

构造F统计量（符合F分布）：

组间自由度：组别数量-1
组内自由度：Σ(每组个体数量 - 1)
通过查表格确定F统计量所对应的p值是多少

1.2 双因素方差分析

特征值同时受两个因素影响。e.g. 视频播放量同时受视频分区和 up主学历影响。双因素方差分析因素的组别不做限制，不需要像单因素方差分析那样必须大于三组。双因素方差分析探讨的三个问题：

问题一：根据第一个因素进行分组时，不同分组之间的特征值均值是否相等
- 原假设：第一个因素对特征值均值没有显著影响
- 备择假设：第一个因素对特征值均值存在显著影响
问题二：根据第二个因素进行分组时，不同分组之间的特征值均值是否相等
- 原假设：第二个因素对特征值均值没有显著影响
- 备择假设：第二个因素对特征值均值存在显著影响
问题三：第一个因素和第二个因素的交互效应，是否对不同分组之间的特征值均值产生影响
- 原假设：交互效应对特征值均值没有显著影响
- 备择假设：交互效应对特征值均值存在显著影响

1.2.1 双因素方差分析思路

计算五个波动：

数据整体波动（sum of squares total）
第一个因素所带来的波动（sum of squares first factor）
第二个因素所带来的波动（sum of squares second factor）
两个因素交互项所带来的波动（sum of squares interaction）
误差项所带来的波动（sum of square error）

五个波动之间的关系： \[ SST = SSFF + SSSF + SSI + SSE \] 模型所带来的波动（sum of square model）: \[ SSM = SSFF + SSSF +SSI \] 为什么叫模型带来的波动呢？因为双因素方差分析可以理解为两个因素构成了这样一个检验模型，用这个模型来解释特征值的波动，前三项波动就是这个模型能够解释的部分。误差项时这个模型不能解释的部分。下面分情景进行解释：

1.2.2 双因素方差分析思路

计算出因素一波动、因素二波动、交互项波动、误差项波动
分别将因素一波动、因素二波动、交互项波动，与误差项波动进行比较
- 因素一波动 v.s 误差项波动进行比较（如果因素一波动显著大于误差项波动，那么就说因素一对特征值有影响）
- 因素二波动 v.s 误差项波动进行比较（如果因素二波动显著大于误差项波动，那么就说因素二对特征值有影响）
- 交互项波动 v.s 误差项波动进行比较（如果交互项波动显著大于误差项波动，那么就说交互项对特征值有影响）