Gradient Convolution Kernel Compensation Applied to Surface Electromyograms

gCKC算法首先估计第j个MU与各个通道之间的相关向量：

$$\mathbf{c}_{t_j\mathbf{x}}=E(t_j(n)\mathbf{x}(n))$$

但是由于事先不知道发放序列，因此需要首先对这个相关向量做一个初始化：

$$\mathbf{\hat{c}}_{t_j\mathbf{x}}=\mathbf{x}(n_i)$$

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2024/1/7

$$\mathbf{\hat{c}}_{t_j\mathbf{x}}=\mathbf{\hat{c}}_{t_j\mathbf{x}}-\eta(k)\sum_m\frac{\partial f(\hat{t}_j(m))}{\partial\hat{t}_j(m)}\mathbf{x}(m)$$

这个公式实际上就是在把每个时刻的相关向量加起来，通过把损失函数的导数设置为凹函数，使得高脉冲的时刻被不断加强。因此可以在求和除以一个采样总点数，这样得到的向量就与前面的相关向量c一致，而不需要在学习率里面体现这个倍数关系了。

这里的ni代表至少有一个MU发放的时刻。这里相关向量的更新的理解是这样的，它的梯度是m时刻观测向量和该时刻spike偏导数的乘积。假设m时刻存在MU发放，那么迭代过程就是那些存在发放的时刻的观测向量会被加强，然后导致spike会不断增高，当增高到一定程度后，发放时刻就较为确定，相关向量内部的相对变化就不再明显，体现为分离向量收敛。如果MU没有在m时刻发放，那么它的的观测向量值应该很小，导致乘积就很小，所以在迭代的过程中会被压下去。

值得注意的是，基于梯度的更新需要至少10秒长的信号来收敛。

• 在第一步中，对未知的混合通道（卷积核）进行补偿
• 在第二步中，使用自然梯度算法对估计的源脉冲序列进行盲优化

注意在卷积模型的表达中，有两种形式，一种是对观测矩阵进行了扩展的，另一种是没有对观测矩阵进行扩展的。

• 第一种：

$$\mathbf{x}\left(n\right)=\mathbf{H}\bar{\mathbf{t}}\left(n\right)+\omega\left(n\right)$$ $$\bar{\mathbf{t}}\left(n\right)=\left[t_{1}\left(n\right),t_{1}\left(n-1\right),...,t_{1}\left(n-L+1\right),...,t_{N}\left(n\right),...,t_N\left(n-L+1\right)]^T\right.$$

• 第二种：

$$\overline{\mathbf{y}}(n)=\mathbf{A}\overline{\mathbf{t}}(n)+\overline{\boldsymbol{\omega}}(n)$$ $$\begin{aligned}\bar{\mathbf{t}}(n)=[t_1(n),t_1(n-1),\ldots,t_1(n-L-K+2),\ldots,\\t_N(n),\ldots,t_N(n-L-K+2)]^T\end{aligned}$$

代价函数选择参考文献《Non-invasive characterization of motor unit behaviour in pathological tremor》：

$$F(t) = 2\cdot atan(t)-2\cdot t+t\cdot\log(1+t^2)$$